Question

16．设函数f（x）=ax²+bx+1（a≠0，b∈R），若f（-1）=0，且f（x）的图象与x轴有且只有一个交点．
（1）求实数a、b的值；
（2）当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（-1）=0，可得a-b+1=0． 再由f（x）的图象与x轴有且只有一个交点可得b²-4a=0，由此求得a、b的值；
（2）确定g（x）的对称轴为x=$\frac{k-2}{2}$，利用函数g（x）在∈[-2，2]上单调，由此求得实数k的取值范围．

解答 解：（1）因为f（-1）=0，所以a-b+1=0．
因为f（x）的图象与x轴有且只有一个交点，
所以b²-4a=0，
可得b²-4（b-1）=0，解得b=2，a=1；
（2）f（x）=x²+2x+1，g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1，
对称轴为x=$\frac{k-2}{2}$，
因为x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，
所以$\frac{k-2}{2}$≤-2或$\frac{k-2}{2}$≥2，
所以k≤-2或k≥6．

点评 本题考查二次函数的性质，考查函数的解析式，考查函数的单调性，属于中档题．