Question

（本题满分14分）如图，在梯形中，，，四边形为矩形，平面平面，.

（I）求证：平面；

（II）点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的取值范围.

Answer 1

（I）证明：在梯形中，

∵ ,，

∠＝，∴      …………………2分

∴

∴

∴　⊥              ………………… 4分

∵  平面⊥平面,平面∩平面,平面

∴  ⊥平面                …………………6分

（II）解法一：由（I）可建立分别以直线为的如图所示空间直角坐标系，令，则，

∴     …………8分

设为平面MAB的一个法向量，

由得

  取，则，…………10分

  ∵　是平面FCB的一个法向量

         ∴　              ………12分

 ∵        ∴　当时，有最小值，

 当时，有最大值。   ∴   …………………14分

      

解法二：①当与重合时，取中点为，连结

 ∵  ,

∴  ∴⊥

 ∵　    ∴ ⊥

 ∴  ∠=

∵  ⊥   ∴   

∴,

 ∴ …………………8分…

②当与重合时，过,

连结，则平面∩平面＝,

∵  ⊥，又∵⊥

∴  ⊥平面

∴  ⊥平面

∴　∠＝

∴　=,

∴　=              …………………10分

③当与都不重合时，令

延长交的延长线于,连结

 ∴　在平面与平面的交线上

 ∵  在平面与平面的交线上

 ∴  平面∩平面＝

 过C作CG⊥NB交NB于G ，连结AG，

由（I）知，⊥, 又∵AC⊥CN,

∴　AC⊥平面NCB

∴ AC⊥NB,　又∵　CG⊥NB，AC∩CG=C，

∴　NB⊥平面ACG  ∴AG⊥NB

 ∴  ∠AGC=

 在中，可求得NC＝，

从而，在中，可求得CG＝

∵　∠ACG＝    ∴　　AG＝

∴  

      

∵         ∴  …………………13分

综合①②③得，…………………14分