Question

数列{a_n}的前n项和为s_n，s_n=2a_n-3n（n∈N^*）．
（1）求证数列{a_n+3}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）数列{a_n}中是否存在三项，它们可以构成等差数列．若存在，请给出一组适合条件的项，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据a_n+1=S_n+1-S_n，求得a_n+1=2a_n+3，整理可得

an+1+3

an+3

=2判断出数列{a_n+3}是等比数列，
（2）由（1）知数列{a_n+3}是等比数列，利用等比数列的通项公式求得a_n+3进而求得a_n．
（3）设存在s，p，r∈N^*，且s＜p＜r，使得a_s，a_p，a_r成等差数列，根据等差中项的性质可知2a_p=a_s+a_r，利用（2）中的a_n展开得2^p+1=2^s+2^r，2^p-s+1=1+2^r-s，进而根据2^p-s+1，2^r-s为偶数，而1+2^r-s为奇数，判断出假设不成立．故可知不存在这样的三项．

解答：证明：（1）：因为S_n=2a_n-3n，所以S_n+1=2a_n+1-3（n+1），
则a_n+1=2a_n+1-2a_n-3，所以a_n+1=2a_n+3，

an+1+3

an+3

=2，
数列{a_n+3}是等比数列，
解：（2）由（1）知数列{a_n+3}是等比数列
又a₁=S₁=3，a₁+3=6，
∴a_n+3=6•2^n-1=3•2ⁿ，
所以a_n=3•2ⁿ-3．
（3）设存在s，p，r∈N^*，且s＜p＜r，使得a_s，a_p，a_r成等差数列，则2a_p=a_s+a_r，即2（3•2^p-3）=3•2^s-3+3•2^r-3
即2^p+1=2^s+2^r，2^p-s+1=1+2^r-s，2^p-s+1，2^r-s为偶数，而1+2^r-s为奇数，
所以2^p+1=2^s+2^r不成立，故不存在满足条件的三项

点评：本题考查了数列的递推式，等比关系的确定，等比数列通项公式，等差数列的性质，解题的关键是由题设中的递推关系得出数列a_n=3•2ⁿ-3，本题第三小题是难点，