Question

4．已知函数f（x）=2sinωx•cosωx+2$\sqrt{3}$cos²ωx-$\sqrt{3}$（其中ω＞0），且f（x）满足f（x+$\frac{π}{2}$）=-f（x）．
（1）求ω的值；
（2）将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{24}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角的三角函数公式化简得f（x）=2sin（2ωx+$\frac{π}{3}$），再由f（x+$\frac{π}{2}$）=-f（x），ω＞0，从而可得其周期为π，解得ω的值．
（2）根据函数图象平移的公式，算出g（x）的解析式，再由x∈[-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{24}$]，利用正弦函数的图象与性质，即可算出g（x）在[-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{24}$]上的值域．

解答 解：（1）∵f（x）=2sinωx•cosωx+2$\sqrt{3}$cos²ωx-$\sqrt{3}$=sin2ωx+$\sqrt{3}$cos2ωx=2sin（2ωx+$\frac{π}{3}$），
∵f（x+$\frac{π}{2}$）=-f（x），∴f（x+π）=f（x）．
∴y=f（x）是以π为周期的函数．
又ω＞0，
∴其周期为π=$\frac{2π}{2ω}$，
∴解得ω=1，
（2）由（1）可得：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∵将f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，得到y=f（x+$\frac{π}{6}$）=2sin[2（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{3}$]=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$）的图象，
再将横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$，得到g（x）=2sin（4x+$\frac{2π}{3}$）的图象，
∵x∈[-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{24}$]，可得4x+$\frac{2π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴由sin（4x+$\frac{2π}{3}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，得g（x）=2sin（4x+$\frac{2π}{3}$）∈[1，2]．
因此g（x）在[-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{24}$]上的值域为[1，2]．

点评 本题着重考查了三角恒等变换、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换、三角函数的图象与性质、函数值域的求法等知识，属于中档题．