Question

选修4-1：几何证明选讲

（本小题满分10分）

AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC。

Answer 1

[解析] 本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力。

（方法一）证明：连结OD，则：OD⊥DC，

又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，

∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，

所以∠DCO=30⁰，∠DOC=60⁰，

所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。

（方法二）证明：连结OD、BD。

因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=90⁰，AB=2 OB。

因为DC 是圆O的切线，所以∠CDO=90⁰。

又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，

于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO。

即2OB=OB+BC，得OB=BC。

故AB=2BC。