Question

如图，建立平面直角坐标系x0y，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．
已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-

1

20

（1+k²）x²（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮弹的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
（2）若规定炮弹的射程不小于6千米，设在此条件下炮弹射出的最大高度为f（k），求f（k）的最小值．

Answer 1

分析：（1）在y=kx-

1

20

（1+k²）x²（k＞0）中，令y=0，求出x，利用基本不等式，即可求得炮的最大射程；
（2）利用配方法，求得炮弹射出的最大高度为f（k），根据炮弹的射程不小于6千米，确定k的范围，即可求f（k）的最小值．

解答：解：（1）在y=kx-

1

20

（1+k²）x²（k＞0）中，令y=0，得kx-

1

20

（1+k²）x²=0．-（2分）
由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0．
∴x=

20k

1+k2

=

20

1 k +k

≤

20

2

=10，当且仅当k=1时取等号．-------------------（5分）
∴炮的最大射程是10千米．------------------------------------------------（6分）
（2）∵炮弹的射程不小于6千米，∴

20k

1+k2

≥6
∴

1

3

≤k≤3----------------------------------（8分）
y=kx-

1

20

（1+k²）x²=-

1

20

(1+k2)(x-

10k

1+k2

)2+

5k2

(1+k2)2

∴f（k）=

5k2

(1+k2)2

（

1

3

≤k≤3）-----------------------（10分）
∴f（k）=5（1-

1

1+k2

）（

1

3

≤k≤3）--------（11分）
又f（k）在[

1

3

，3]上单调递增---------------（12分）
∴f（k）的最小值为

1

2

-----------------------------------------------（14分）

点评：本题考查函数模型的运用，考查基本不等式，考查配方法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．