Question

设向量a=(x,2),b=(x+n,2x)(n∈N^*),函数y=a·b在［0,1］上的最小值与最大值的和为a_n,又数列{b_n}满足:nb₁+(n-1)b₂+…+2b_n-1+b_n=()^n-1+()^n-2+…++1.

(1)求证:a_n=n-1;

(2)求b_n的表达式;

(3)c_n=-a_n·b_n,试问数列{c_n}中,是否存在正整数k,使得对于任意的正整数n,都有c_n≤c_k成立?证明你的结论.

Answer 1

(1)证明:y=a·b=x²+(n+4)x-3,因为对称轴x=,所以在［0,1］上为增函数.

所以a_n=(-3)+(n+2)=n-1.

(2)解:由nb₁+(n-1)b₂+…+2b_n-1+b_n=()^n-1+()^n-2+…++1,

得(n-1)b₁+(n-2)b₂+…+b_n-1=()^n-2+()^n-3+…++1,

两式相减,得b₁+b₂+…+b_n-1+b_n=()^n-1=S_n,

当n=1时,b₁=S₁=1;

当n≥2时,b_n=S_n-S_n-1=()^n-2,

即b_n=

(3)解:由(1)与(2)得

c_n=-a_n·b_n=

设存在正整数k,使得对于任意的正整数n,都有c_n≤c_k成立,

当n=1时,c₂-c₁=＞0c₂＞c₁.

当n≥2时,c_n+1-c_n=()^n-2·,

所以当n＜5时,c_n+1＞c_n;

当n=5时,c_n+1=c_n;

当n＞5时,c_n+1＜c_n.

所以存在正整数k=5,使得对于任意的正整数n,都有c_n≤c_k成立.