Question

已知函数f（x）=x²+ax+b，集合A={x|f（x）=0}，B={x|f（x）=3x}，空集∅．
（1）若函数f（x）为偶函数，且A≠∅，求实数b的取值范围；
（2）若B={a}，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）利用f（x）=x²+ax+b是偶函数，可得a=0，由A≠∅，可得b的取值范围．
（2）若B={a}，利用根与系数之间的关系进行求解．

解答：解（1）∵f（x）=x²+ax+b为偶函数，∴f（-x）=f（x），
即x²-ax+b=x²+ax+b，
∴a=0．∴f（x）=x²+b．
∵A≠∅，即x²+b=0有实数根，
∴b≤0．
（2）∵B={a}，∴由f（x）=3x，
得x²+（a-3）x+b=0
则方程有两个相等实根x₁=x₂=a，
∴

2a=3-a a2=b

，得

a=1 b=1

，
∴f（x）=x²+x+1．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及一元二次方程根与判别式之间的关系的应用．比较综合．