题目内容
【题目】已知函数
.
（1）求函数
的单调区间；
（2）若
，
，试证：
.
【答案】（1）单调增区间为
与
，减区间为
；（2）见解析
【解析】
（1）求导，令
，可得增区间，令
，可得减区间，要注意函数定义域为
；
（2）构造函数
，
，求导后得，
在上恒成立，即在上单调递增，利用函数的单调性可得
在上恒成立，因为
，所以
，即
①；同理，构造函数
，
，可证
②，结合①②，结论可证.
（1）由题设知函数
的定义域为且
故当
时，；当时，；
所以的单调增区间为与，减区间为；
（2）由（1）知：
，先证.
构造函数，
则
故在上恒成立，即在上单调递增
所以
在上恒成立，
又
，得，又
且函数在上单调递减
故，即 ①
再证.构造函数，
故
在上恒成立，即在上单调递增
所以
在上恒成立，
又
，得
，
又
且函数在上单调递增
故
，即 ②
结合①②得：
【题目】随着科学技术的飞速发展，网络也已经逐渐融入了人们的日常生活，网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据(其中“x=1”表示2015年，“x=2”表示2016年，依次类推；y表示人数)：
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
y(万人) | 20 | 50 | 100 | 150 | 180 |
（1）试根据表中的数据，求出y关于x的线性回归方程，并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人；
（2）该公司为了吸引网购者，特别推出“玩网络游戏，送免费购物券”活动，网购者可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停在“胜利大本营”，则网购者可获得免费购物券500元；若遥控车最终停在“失败大本营”，则网购者可获得免费购物券200元. 已知骰子出现奇数与偶数的概率都是
，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遥控车开始在第0格，网购者每抛掷一次骰子，遥控车向前移动一次.若掷出奇数，遥控车向前移动一格（从
到
）若掷出偶数遥控车向前移动两格（从到
），直到遥控车移到第19格胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束。设遥控车移到第
格的概率为
，试证明
是等比数列，并求网购者参与游戏一次获得免费购物券金额的期望值.
附：在线性回归方程
中，
.
