Question

【题目】设，其中，函数在点处的切线方程为，其中.

（1）求和并证明函数有且仅有一个零点；

（2）当时，恒成立，求最小的整数的值.

Answer 1

【答案】（1），证明见解析；（2）.

【解析】

（1）求出函数的导函数，根据函数在点处的切线方程为，可得，即可求得的值，在根据函数的单调性以及特殊点的函数值，可判断函数只有一个零点.

（2）当时，，由此；猜想的最小值为，再证明，在时恒成立，即可求得.

解：（1）

所以定义域为

，

又因为函数在点处的切线方程为

所以

当时，，即，解得

，函数在上单调递减

由于，，则函数有且仅有一个零点．

（2）一方面，当时，，由此；

所以猜想的最小值为，

下证：当时，，在时恒成立，

记函数，，在上单调递增，在上单调递减

；

记函数，，在上单调减，在上单调减

，即；

，成立

又因为和不能同时在同一处取到最大值，

所以当时，恒成立

所以最小整数．