Question

设曲线y=（ax-1）e^x在点A（x，y₁）处的切线为l₁，曲线y=（1-x）e^-x在点B（x，y₂）处的切线为l₂．若存在，使得l₁⊥l₂，则实数a的取值范围为    ．

Answer 1

【答案】分析：根据曲线方程分别求出导函数，把A和B的横坐标x分别代入到相应的导函数中求出切线l₁和切线为l₂的斜率，然后根据两条切线互相垂直得到斜率乘积为-1，列出关于等式由解出，然后根据为减函数求出其值域即可得到a的取值范围．
解答：解：函数y=（ax-1）e^x的导数为y′=（ax+a-1）e^x，
∴l₁的斜率为，
函数y=（1-x）e^-x的导数为y′=（x-2）e^-x
∴l₂的斜率为，
由题设有k₁•k₂=-1从而有
∴a（x²-x-2）=x-3
∵得到x²-x-2≠0，所以，
又，另导数大于0得1＜x＜5，
故在（0，1）是减函数，在（1，）上是增函数，
x=0时取得最大值为=；
x=1时取得最小值为1．
∴
故答案为：
点评：此题是一道综合题，考查学生会利用导数求切线的斜率，会求函数的值域，掌握两直线垂直时斜率的关系．