Question

已知向量

a

=（cos

3

2

x，sin

3

2

x），

b

=（-cos

x

2

，sin

x

2

），且x∈[0，

π

2

]．
（1）求|

a

+

b

|
（2）设函数f（x）=|

a

+

b

|+

a

•

b

，求函数f（x）的最值及相应的x的值．

Answer 1

分析：（1）根据平面上两点间的距离公式，求得|

a

+

b

|的表达式，根据三角的二倍角公式和同角三角函数基本关系式，化简即可求得结果；
（2）利用函数 f(x)=

a

•

b

．化简函数为一个角的一个三角函数的形式，根据正弦函数的值域，直接求出函数f（x）的最值及取得最值时x的取值集合；

解答：解：（ I）由已知条件：0≤x≤

π

2

，
得：|

a

+

b

|=|(cos

3x

2

-cos

x

2

，sin

3x

2

+sin

x

2

)|
=

(cos 3x 2 -cos x 2 )2+(sin 3x 2 +sin x 2 )2

=

2-2cos2x

=2sinx
（2）f（x）=2sinx+cos

3x

2

cos

x

2

-sin

3x

2

sin

x

2

=2sinx+cos2x
=-2sin²x+2sinx+1=-2(sinx-

1

2

)2+

3

2

，
因为：0≤x≤

π

2

，
所以：0≤sinx≤1
所以，只有当：x=

1

2

时，f_max（x）=

3

2

，x=0，或x=1时，f_min（x）=1

点评：本题考查向量数量积的运算律、三角函数的平方关系和商数关系、三角函数的有界性和最值，考查运算能力，注意在解决三角函数的有关问题时，注意角之间的关系，属中档题．