Question

【题目】设函数，.

(1)当(为自然对数的底数)时，求曲线在点处的切线方程；

(2)讨论函数的零点的个数；

(3)若对任意，恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(I) ；(II)见解析；（III）。

【解析】试题分析：（1）当时，，，由此利用导数性质能求出的极小值；（2）由，得，令，则，，由此利用导数性质能求出函数零点的个数；（3）当时，在上恒成立，由此能求出的取值范围.

试题解析：(1)当时，，所以， ，切点坐标为所以曲线在点处的切线方程为.

(2)因为函数令，得，设所以，当时，，此时在上为增函数；当时，，此时在上为减函数，所以当时，取极大值，

令，即，解得或，由函数的图像知：

当时，函数和函数无交点；

当时，函数和函数有且仅有一个交点；

当时，函数和函数有两个交点；

④当时，函数和函数有且仅有一个交点。

综上所述，当时，函数无零点；

当或时，函数有且仅有一个零点

当时，函数有两个零点

（3）对任意恒成立，等价于恒成立，设则在上单调递减，所以在上恒成立，所以在上恒成立，因为，所以，当且仅当时，，

所以实数的取值范围.