Question

【题目】已知函数.

(I)求函数f(x)的单调区间；

(Ⅱ)若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数），求的最大值.

Answer 1

【答案】（I）增区间，减区间；（I）．

【解析】

（I）求导数，由于分母为正，因此对分子（设其为）再求导，以确定正负，仍不能确定其零点、极值、正负，因此再一次求导，可确定出的最值与单调性，从而可确定的单调性与零点，最终可确定的单调区间；

（II）分离常数，得，为此求出函数在上的最小值．这可利用导数知识求解．

函数的定义域是，

，

设，则，

令，则，

时，，在上为增函数，

时，，在上为减函数，

∴在处取得极大值，而，

∴，函数在上为减函数．

于是当时，，当时，，

∴当时，，为增函数，

当时，，为减函数，

故函数的增区间为，减区间为．

（II）不等式等价于不等式，由可得：

，

设，，

则，

由（I）知，即

∴，，于是在上为减函数，

故函数在上的最小值为，

所以的最大值为．