Question

形如的式子叫做二行二列矩阵，定义矩阵的一种运算 =．该运算的几何意义为平面上的点（x，y）在矩阵的作用下变换成点（ax+by，cx+dy）．
（1）设点M（-2，1）在的作用下变换成点M′，求点M′的坐标；
（2）设数列{a_n} 的前n项和为S_n ，且对任意正整数n，点A（S_n，n）在的作用下变换成的点A′在函数f（x）=x²+x的图象上，求a_n的表达式；
（3）在（2）的条件下，设b_n为数列{1-}的前n项的积，是否存在实数a使得不等式对一切n∈N^*都成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据二阶矩阵与平面列向量的乘法的乘法规则，将问题转化为矩阵的计算；
（2）由题意S_n=n²+n，从而可求a_n的表达式；
（3）构造函数，利用函数的单调性解决恒成立问题．
解答：解：（1）∵∴点M′的坐标为（1，-2）；
（2）∵，∴A′（n，S_n）
∵点A′（n，S_n）在函数f（x）=x²+x的图象上，∴S_n=n²+n
当n=1时，a₁=S₁=2
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n
a₁=2满足上式，∴a_n=2nn∈N^*
（3），设
∵
∴F（n）＞F（n+1），F（n）单调递减．
∴当n=1时，F（n）取最大值
要使不等式对一切n∈N^*都成立，只需a
所以a的取值范围为
点评：在二阶矩阵对应的变换作用下，它将平面上任意一个点（向量）（x，y）对应惟一的一个平面点（向量）（x′，y′）．数列中的恒成立问题，通常可借助于构造的函数的单调性进行解决．