Question

（2006•海淀区二模）如图：三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC，∠BAC=90°，PB=AB=AC=4，点E是PA的中点．
（1）求证：AC⊥平面PAB；
（2）求异面直线BE与AC的距离；
（3）求直线PA与平面PBC所成的角的大小．

Answer 1

分析：（1）由PB⊥底面ABC，∠BAC=90°，可得PB⊥AC，BA⊥AC，再利用直线和平面垂直的判定定理可得AC⊥平面PAB．
（2）由条件可得EA是异面直线BE、AC的公垂线段，再根据EA是△PBA为直角三角形的斜边PA上的中线，求得EA=

1

2

PA的值，即为所求．
（3）取BC中点D，求得AD=2

2

．证得PD为PA在平面PBC内的射影，∠APD为PA与平面PBC所成角．在Rt△ADP中，由sinAPD=

AD

AP

=

1

2

，可得∠APD的值．

解答：解：（1）∵三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC，∠BAC=90°，∴PB⊥AC，BA⊥AC．…（4分）
∵PB∩BA=B，∴AC⊥平面PAB．…（4分）
（2）∵PB=BA=4，点E是PA的中点，∴BE⊥EA．…（5分） 
又∵EA?平面PAB，由（1）知AC⊥EA，…（6分）
∴EA是异面直线BE、AC的公垂线段，…（7分）
∵PB⊥AB，∴△PBA为直角三角形．…（8分）
∴EA=

1

2

PA=

1

2

×4

2

=2

2

，∴异面直线BE与AC的距离为2

2

．…（9分）
（3）取BC中点D，连结AD、PD，∵AB=AC=4，∠BAC=90°，∴BC⊥AD，AD=2

2

．
∵PB⊥底面ABC，AD?底面ABC，∴PB⊥AD．∵PB∩BC=B，∴AD⊥平面PBC．…（11分）
∴PD为PA在平面PBC内的射影，∴∠APD为PA与平面PBC所成角．…（12分）
在Rt△ADP中，sinAPD=

AD

AP

=

1

2

，…（13分）
∴∠APD=30°，…（14分）
∴PA与平面PBC所成角大小为30°．

点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，求异面直线间的距离，直线和平面所成的角的大小，属于中档题．