Question

【题目】如图所示,圆C上有n个不同的点P1,P2,…,Pn,设两两连接这些点所得线段PiPj中,任意三条在圆内都不共点,试证它们在圆内共≥4).

Answer 1

【答案】见解析

【解析】分析：利用数学归纳法分两步逐步证明即可.

详解：设圆内的交点个数为P(n).

(1)当n=4时,则P(4)=1.

(2)假设当n=k时,P(k)k+1个点,且P1,P2,…,Pk,Pk+1按逆时针方向排列,依次连接Pk+1P1,Pk+1P2,…,可增加k条线段,分别考查这k条线段与此前圆内线段的交点个数:

与Pk+1P1:0个;

与Pk+1P2:k-2个(分别与P1P3,P1P4,…,P1Pk交得);

与Pk+1P3:2(k-3)个(分别与P1P4,P1P5,…,P1Pk,P2P4,…,P2Pk交得);

与Pk+1P4:3(k-4)个(分别与P1P5,…,P1Pk,…,P3Pk交得);

与Pk+1Pk-1:(k-2)×1个(分别与P1Pk,P2Pk,…,Pk-2Pk交得),

故总共增加:1(k-2)+2(k-3)+3(k-4)+…+(k-2)[(k-1)-(k-2)]=k+2k+…+(k-2)k-[1×2+2×3+3×4+…+(k-2)(k-1)]个交点,得P(k+1)n=k+1时命题成立.

根据(1)(2)可知,对一切n≥4的自然数n命题都成立.