题目内容
已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若
=
．
（Ⅰ） 求
的值；
（Ⅱ） 若b=2，且0＜B≤
，求边长a的取值范围．
| cosA-3cosC |
| cosB |
| 3c-a |
| b |
（Ⅰ） 求
| sinC |
| sinA |
（Ⅱ） 若b=2，且0＜B≤
| π |
| 3 |
分析：（1）把已知利用正弦定理进行化简，然后结合和差角公式及三角形的内角和定理化简即可求解
（2）由（1）sinC与sinA的关系可得c与a的关系，然后结合0＜B≤
，求cosB范围，由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，可求
（2）由（1）sinC与sinA的关系可得c与a的关系，然后结合0＜B≤
| π |
| 3 |
解答：解：（1）由正弦定理得
=
…（2分）
即（cosA-3cosC）sinB=（3sinC-sinA）cosB
化简可得sin（A+B）=3sin（B+C）…（4分）
又A+B+C=π，所以sinC=3sinA
因此
=3 …（6分）
（2）由（1）得
=3，可得c=3a①…（8分）
∵0＜B≤
，即
≤cosB＜1②…（10分）
由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB，把①代入可得cosB=
…（12分）
代入②式，解得
≤a＜1…（14分）
| cosA-3cosC |
| cosB |
| 3sinC-sinA |
| sinB |
即（cosA-3cosC）sinB=（3sinC-sinA）cosB
化简可得sin（A+B）=3sin（B+C）…（4分）
又A+B+C=π，所以sinC=3sinA
因此
| sinC |
| sinA |
（2）由（1）得
| sinC |
| sinA |
∵0＜B≤
| π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB，把①代入可得cosB=
| 5a2-2 |
| 3a2 |
代入②式，解得
2
| ||
| 7 |
点评：本题主要考查了三角形的正弦定理、余弦定理及和差角公式的综合应用，解题的关键是熟练应用基本公式
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