Question

已知点P（4，4），圆C：与椭圆E：有一个公共点A（3，1），F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，直线PF₁与圆C相切．

（1）求m的值与椭圆E的方程；
（2）设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）．（Ⅱ） [－12，0]．

解析试题分析：（Ⅰ）点A代入圆C方程，
得．
∵m＜3，∴m＝1．       2分
圆C：．设直线P的斜率为k，
则PF1：，即．
∵直线P与圆C相切，∴．
解得．      4分
当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去．
当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为－4，
∴c＝4．（－4，0），（4，0）． 
2a＝A＋A＝，，a2＝18，b2＝2．
椭圆E的方程为：．    7分
（Ⅱ），设Q（x，y），，
．   9分
∵，即，
而，∴－18≤6xy≤18．
则的取值范围是[0，36]．
的取值范围是[－6，6]．
∴的取值范围是[－12，0]．  13分
考点：本题主要考查直线方程，直线与圆的位置关系，椭圆标准方程，向量的坐标运算，基本不等式的应用。
点评：中档题，研究直线与圆的位置关系，半径、弦长一半、圆心到直线的距离所构成的“特征三角形”是重点，考查知识覆盖面广，对考生计算能力、数形结合思想有较好考查。