Question

已知数列{a_n}中，a1=

1

2

，点（n，2a_n+1-a_n）在直线y=x上，其中n=1，2，3，…．（1）令b=a_n+1-a_n-1，证明数列{b_n}是等比数列；（2）设S_n、T_n分别为数列{a_n}、{b_n}的前n项和，证明数列{

Sn+2Tn

n

}是等差数列．

Answer 1

分析：（1）由于已知得：a1=

1

2

，2an+1=an+n，利用递推关系由于b_n=a_n+1-a_n-1，利用等比数列的定义即可；
（2）由（1）知，bn=-

3

4

×(

1

2

)n-1=-

3

2

×(

1

2

)n，而又由于b_n=a_n+1-a_n-1，利用数列的累加法可以得到数列{a_n}的通项公式，有其通项公式特点选择分组求和法代入相应公式即可求得，S_n、T_n，在利用等差数列的定义即可得证．

解答：解：（1）有已知得：a1=

1

2

，2an+1=an+n，
∴a2=

3

4

，则a2-a1-1=-

3

4

，
∴

bn+1

bn

=

an+2-an+1-1

an+1-an-1

=

an+1+(n+1) 2 - an+n 2 -1

an+1-an

=

an+1-an-1 2

an+1-an-1

=

1

2

，

∴数列{bn}是以-

3

4

为首项，以

1

2

为公比的等比数列；
（2）由（1）知，bn=-

3

4

×(

1

2

)n-1=-

3

2

×(

1

2

)n，
∴an+1-an-1=-

3

2

×

1

2n

，
得：an-an-1=-

3

2

×

1

2n

+1
    a3-a2=-

3

2

×

1

22

+1
     a2-a1=-

3

2

×

1

2

+1
将以上各式相加得：an-a1=-

3

2

(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)+(n-1)，
∴an=a1+n-1-

3

2

×

1 2 (1- 1 2n-1 )

1-  1 2

=

3

2n

+n-2，
∵Sn=a1+a2+…+an=3(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

)+(1+2+…+n)-2n+（1+2+…+n）-2n=3×

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

+

n(n+1)

2

-2n=-

3

2n

+

n2-3n

2

+3
Tn=b1+b2+…+bn=

- 3 4 (1- 1 2n )

1- 1 2

=-

3

2

+

3

2n+1

，
∴

Sn+2Tn

n

=

- 3 2n + n2-3n 2 +3+2( - 3 2 + 3 2n+1 )

n

=

1

2

n-

3

2

，

∴

Sn+2Tn

n

-

Sn-1+2Tn-1

n-1

=

1

2

n-

3

2

-[

1

2

(n-1)-

3

2

]=

1

2

，
∴数列{

Sn+2Tn

n

}是等差数列．

点评：此题考查了等差数列的定义，通项公式及数列的前n项和公式，累加法求数列的通项的方法，重在考查学生的基本的计算能力．