Question

【题目】已知椭圆W： （b＞0）的一个焦点坐标为 ．
（Ⅰ）求椭圆W的方程和离心率；
（Ⅱ）若椭圆W与y轴交于A，B两点（A点在B点的上方），M是椭圆上异于A，B的任意一点，过点M作MN⊥y轴于N，E为线段MN的中点，直线AE与直线y=﹣1交于点C，G为线段BC的中点，O为坐标原点．求∠OEG的大小．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵椭圆W： （b＞0）的一个焦点坐标为 ，
∴a=2，c= ，∴b= =1，
∴椭圆W的方程为 +y2=1．
离心率e= ．
（Ⅱ）设M（x0 ， y0），x0≠0，则N（0，y0），E（ ，y0），
又A（0，1），∴直线AE的方程为y﹣1= ，
令y=﹣1，则C（ ，﹣1），
又B（0，﹣1），G为BC的中点，∴G（ ，﹣1），
∴ =（ ）， =（ ，y0+1），
= （ ﹣ ）+y0（y0+1）
= ﹣ + +y0 ，
∵点M在椭圆P上，则 +y02=1，
∴ =4﹣4y02 ，
= =1﹣y0﹣1+y0=0，
⊥ ，
∴∠OEG=90°．
【解析】（Ⅰ）由椭圆W： （b＞0）的一个焦点坐标为 ，求出a，b，由此能求出椭圆W的方程和离心率．（Ⅱ）设M（x0 ， y0），x0≠0，则N（0，y0），E（ ，y0），从而直线AE的方程为y﹣1= ，令y=﹣1，则C（ ，﹣1），从而G（ ，﹣1），由点M在椭圆P上，得到 ⊥ ，由此能求出∠OEG．