Question

设a∈R，函数f（x）=lnx-ax．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知x₁=（e为自然对数的底数）和x₂是函数f（x）的两个不同的零点，求a的值并证明：x₂＞．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求函数f（x）的导函数f′（x），并确定函数的定义域，再解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可分别求得函数f（x）的单调增区间和单调减区间，进而利用极值定义求得函数的极值，由于导函数中含有参数a，故为解不等式的需要，需讨论a的正负；
（II）将x₁=代入函数f（x），即可得a的值，再利用（I）中的单调性和函数的零点存在性定理，证明函数的另一个零点x₂是在区间（，）上，即可证明结论
解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
求导数，得f′（x）=-a=．
①若a≤0，则f′（x）＞0，f（x）是（0，+∞）上的增函数，无极值；
②若a＞0，令f′（x）=0，得x=．
当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；
当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数．
∴当x=时，f（x）有极大值，极大值为f（）=ln-1=-lna-1．
综上所述，当a≤0时，f（x）的递增区间为（0，+∞），无极值；当a＞0时，f（x）的递增区间为（0，），递减区间为（，+∞），极大值为-lna-1
（Ⅱ）∵x₁=是函数f（x）的零点，
∴f （）=0，即-a=0，解得a==．
∴f（x）=lnx-x．
∵f（）=-＞0，f（）=-＜0，∴f（）•f（）＜0．
由（Ⅰ）知，函数f（x）在（2，+∞）上单调递减，
∴函数f（x）在区间（，）上有唯一零点，
因此x₂＞．
点评：本题主要考查了导数在函数单调性和函数极值中的应用，连续函数的零点存在性定理及其应用，分类讨论的思想方法，属中档题