题目内容
（2013•朝阳区二模）如图，已知四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，PD∥EA，AD=PD=2EA=2，F，G，H分别为BP，BE，PC的中点．
（Ⅰ）求证：FG∥平面PDE；
（Ⅱ）求证：平面FGH⊥平面AEB；
（Ⅲ）在线段PC上是否存在一点M，使PB⊥平面EFM？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由．
（Ⅰ）求证：FG∥平面PDE；
（Ⅱ）求证：平面FGH⊥平面AEB；
（Ⅲ）在线段PC上是否存在一点M，使PB⊥平面EFM？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由．
（Ⅰ）证明：因为F，G分别为PB，BE的中点，所以FG∥PE．
又因为FG?平面PED，PE?平面PED，所以，FG∥平面PED．…（4分）
（Ⅱ）因为EA⊥平面ABCD，所以EA⊥CB．
又因为CB⊥AB，AB∩AE=A，所以CB⊥平面ABE．
由已知F，H分别为线段PB，PC的中点，所以FH∥BC，则FH⊥平面ABE．
而FH?平面FGH，所以平面FGH⊥平面ABE．…（9分）
（Ⅲ）在线段PC上存在一点M，使PB⊥平面EFM．证明如下：
在直角三角形AEB中，因为AE=1，AB=2，所以BE=
．
在直角梯形EADP中，因为AE=1，AD=PD=2，所以PE=
，
所以PE=BE．又因为F为PB的中点，所以EF⊥PB．
要使PB⊥平面EFM，只需使PB⊥FM．
因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥CB，又因为CB⊥CD，PD∩CD=D，
所以CB⊥平面PCD，而PC?平面PCD，所以CB⊥PC．
若PB⊥FM，则△PFM∽△PCB，可得
=
．
由已知可求得PB=2
，PF=
，PC=2
，所以PM=
．…（14分）
又因为FG?平面PED，PE?平面PED，所以，FG∥平面PED．…（4分）
（Ⅱ）因为EA⊥平面ABCD，所以EA⊥CB．
又因为CB⊥AB，AB∩AE=A，所以CB⊥平面ABE．
由已知F，H分别为线段PB，PC的中点，所以FH∥BC，则FH⊥平面ABE．
而FH?平面FGH，所以平面FGH⊥平面ABE．…（9分）
（Ⅲ）在线段PC上存在一点M，使PB⊥平面EFM．证明如下：
在直角三角形AEB中，因为AE=1，AB=2，所以BE=
| 5 |
在直角梯形EADP中，因为AE=1，AD=PD=2，所以PE=
| 5 |
所以PE=BE．又因为F为PB的中点，所以EF⊥PB．
要使PB⊥平面EFM，只需使PB⊥FM．
因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥CB，又因为CB⊥CD，PD∩CD=D，
所以CB⊥平面PCD，而PC?平面PCD，所以CB⊥PC．
若PB⊥FM，则△PFM∽△PCB，可得
| PM |
| PB |
| PF |
| PC |
由已知可求得PB=2
| 3 |
| 3 |
| 2 |
3
| ||
| 2 |
练习册系列答案
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（2013•朝阳区二模）为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试．成绩低于6米为不合格，成绩在6至8米（含6米不含8米）的为及格，成绩在8米至12米（含8米和12米，假定该市初二学生掷实心球均不超过12米）为优秀．把获得的所有数据，分成[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]五组，画出的频率分布直方图如图所示．已知有4名学生的成绩在10米到12米之间．