Question

（2013•朝阳区二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f（A）=2cos

A

2

sin(π-

A

2

)+sin2

A

2

-cos2

A

2

．
（Ⅰ）求函数f（A）的最大值；
（Ⅱ）若f(A)=0，C=

5π

12

，a=

6

，求b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数f（A）为

2

sin(A-

π

4

)，根据0＜A＜π，利用正弦函数的定义域和值域求得f（A）取得最大值．
（Ⅱ）由题意知f(A)=

2

sin(A-

π

4

)=0，由此求得A的值，再根据C的值，求得B的值，利用正弦定理求出b的值．

解答：解：（Ⅰ）f(A)=2cos

A

2

sin

A

2

+sin2

A

2

-cos2

A

2

=sinA-cosA=

2

sin(A-

π

4

)．
因为0＜A＜π，所以-

π

4

＜A-

π

4

＜

3π

4

．
则所以当A-

π

4

=

π

2

，即A=

3π

4

时，f（A）取得最大值，且最大值为

2

．…（7分）
（Ⅱ）由题意知f(A)=

2

sin(A-

π

4

)=0，所以sin(A-

π

4

)=0．
又知-

π

4

＜A-

π

4

＜

3π

4

，所以A-

π

4

=0，则A=

π

4

．
因为C=

5π

12

，所以A+B=

7π

12

，则B=

π

3

．
由

a

sinA

=

b

sinB

得，b=

asinB

sinA

=

6 •sin π 3

sin π 4

=3．    …（13分）

点评：本题主要考查三角恒等变换，正弦定理、正弦函数的定义域和值域，属于中档题．