Question

【题目】已知函数.

（1）若，证明:；

（2）若只有一个极值点，求的取值范围，并证明:.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】试题分析：（1）构造函数利用导数易得，即证得结论，（2）研究导函数零点，先求导数，再根据导函数零点，根据a的正负分类讨论：当时，单调，再根据零点存在定理得有且仅有一个零点；当时，先增后减，再根据零点存在定理得有且仅有两个零点；最后研究极值点函数值范围：继续利用导数研究函数单调性，根据单调性确定取值范围.

试题解析：（1）∵，∴要证，即证.

设，

令得，

且，单调递増；，单调递减，

∴，

即成立，也即.

（2）设，.

①当时，令得;.

，单调递増；，单调递减.

若，恒成立，无极值；

若，即，∴.

∵，∴由根的存在性定理知，在上必有一根.

∵，下证：当，.

令，∴.

当时，单调递増；当时，单调递减，

∴当时，，

∴当时，，即，

由根的存在性定理知，在上必有一根.

此时在上有两个极值点，故不符合题意.

②当时，恒成立，单调递增，

当时，；

当时，，下证：当时，.

令，∵在上单调递减，∴，

∴当时，，

∴由根的存在性定理知，在上必有一根.

即有唯一的零点，只有一个极值点，且，满足题意.

∴.

由题知，又，∴，

∴.

设，，

当，单调递减，

∴，∴成立.