Question

19、如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D、E、F分别是BC、AC₁、BB₁的中点．
（1）求证：平面AC₁D⊥平面BCC₁B₁；
（2）求证：EF∥平面A₁B₁C₁．

Answer 1

分析：（1）根据三棱柱ABC-A₁B₁C₁为正三棱柱底面ABC为正三角形，D是BC的中点，可得AD⊥BC，结合正三棱柱的几何特征，我们可得CC₁⊥AD，由线面垂直的判定定理可得AD⊥平面BCC₁B₁；
再由面面垂直的判定定理，即可得到答案．
（2）取A₁C₁的中点G，连接EG、B₁G，根据三角形中位线定理可得EG平行且等于AA₁平行且等于B₁F，进而得到EF∥B₁G，再由线面平行的判定定理，即可得到答案．

解答：证明：（1）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵D是BC的中点，∴AD⊥BC
又CC₁⊥AD，∴AD⊥平面BCC₁B₁；
又∵AD?平面AC₁D
∴平面AC₁D⊥平面BCC₁B₁；
（2）取A₁C₁的中点G，连接EG、B₁G，
∵E、F分别是AC₁、BB₁的中点，
∴EG平行且等于AA₁平行且等于B₁F
∴四边形EFB₁G为平行四边形，
∴EF∥B₁G
又B₁G?平面A₁B₁C₁，∴EF∥平面A₁B₁C₁．

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，熟练掌握空间中直线与平面平行和垂直的判定定理、性质定理、定义及几何特征是解答本题的关键．