Question

已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形，∠ABC=120°，又PC⊥平面ABCD，PC=a，E是PA的中点．
（1）求证：平面EBD⊥平面ABCD；
（2）求直线PB与直线DE所成的角的余弦值；
（3）设二面角A-BE-D的平面角为θ，求cosθ的值．

Answer 1

分析：（1）以C为原点，CA所在直线为y轴，CP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．求出向量

QE

的坐标，易得

CP

=2

QE

，即PC∥QE，结合已知中PC⊥平面ABCD，由线面垂直的第二判定定理可得QP⊥平面ABCD，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面EBD⊥平面ABCD；
（2）分别求出直线PB与直线DE的方向向量，代入向量夹角公式，即可求出直线PB与直线DE所成的角的余弦值；
（3）分别求出平面ABE与平面BDE的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角A-BE-D的平面角的余弦值．

解答：解：由PC⊥平面ABCD，所以以C为原点，
CA所在直线为y轴，CP所在直线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
∵ABCD的底面是边长为a的菱形，∠ABC=120°，
PC=a，E是PA的中点．所以C (0， 0， 0)，  A (0，

3

a， 0)，B (-

1

2

a，

3

2

a， 0)，  D (

1

2

a，

3

2

a， 0)，P（0，0，a），
∵E是PA的中点，∴E (0， 

3

2

a， 

1

2

a)．（2分）
（1）设AC和BD交于点Q，则Q（0，

3

2

a，0），
∴

QE

=（0，0，

1

2

a，），

CP

=2

QE

，PC⊥平面ABCD，∴QP⊥平面ABCD，平面EBD⊥平面ABCD；（4分）
（2）∵

PB

•

QE

=（-

1

2

a，

3

2

a，-a）•（-

1

2

a，0，

1

2

a，）=-

1

4

a²，
|

PB

|=

2

a，|

QE

|=

2

2

a，
∴cos＜

PB

，

QE

＞=

- 1 4 a2

2 × 2 2 a2

=-

1

4

；-（4分）
（3）设平面ABE的法向量为p=（x，y，z），可得p=（-

3

，1，

3

），
又AC⊥BC，得AC⊥面BDE，又

CA

=（0，

3

a，0），
∴取平面BDE的法向量q=（0，

3

，0），
∴p•q=

3

，|p|=

7

，|q|=

3

，
∴cosq=

7

7

．（4分）

点评：本题考查的知识点二面角的平面角及求示，异面直线及其所成的角，平面与平面垂直的判定，其中建立空间坐标系，求出相应直线的方向向量及平面的法向量，将空间直线与平面的平行或垂直及夹角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．