Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2

2

，∠PAB=60°．M是PD的中点．
（Ⅰ）证明PB∥平面MAC
（Ⅱ）证明平面PAB⊥平面ABCD
（Ⅲ）求四棱锥p-ABCD的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因为OM是中位线，所以PB∥OM．因为PB?平面MAC，OM?平面MAC，所以PB∥平面MAC．
（Ⅱ）由题设PA=2，PD=2

2

可得PA²+AD²=PD²于是AD⊥PA．在矩形ABCD中，AD⊥AB．又PA∩AB=A，所以AD⊥平面PAB．进而可得平面PAB⊥平面ABCD．
（Ⅲ）过点P做PH⊥AB于H，因为平面PAB⊥平面ABCD平面PAB∩平面ABCD=AB，所以PH⊥平面ABCD，由题意得求三棱锥的高PH=

3

．可得三棱锥的体积是2

3

．

解答：解（Ⅰ）证明在△PBD中，
∵OM是中位线
∴PB∥OM
∵PB?平面MAC，
OM?平面MAC，∴PB∥平面MAC．
（Ⅱ）由题设PA=2，PD=2

2

可得PA²+AD²=PD²于是AD⊥PA．
在矩形ABCD中，AD⊥AB．又PA∩AB=A，
所以AD⊥平面PAB．
∵AD?平面ABCD
∴平面PAB⊥平面ABCD．
（Ⅲ）解：过点P做PH⊥AB于H，
∵平面PAB⊥平面ABCD平面PAB∩平面ABCD=AB
∴PH⊥平面ABCD，
在Rt△PHA中PH=PAsin60°=2×

3

2

=

3

∴Vp-ABCD=

1

3

AB×AD×PH=

1

3

×3×2×

3

=2

3

点评：证明线面平行只要在平面内找到一条直线与已知直线平行即可，证明面与面垂直只要证明其中一个平面过另一个平面的垂线即可，求三棱锥的体积关键是找到一个高并且简单易求．