Question

已知函数f（x）=x²-2x，g（x）=ax+2，对任意的x₁∈[-1，2]，都存在x₀∈[-1，2]，使得g（x₁）=f（x₀），则实数a的取值范围是

[-1，

1

2

]

．

Answer 1

分析：由任意的x₁∈[-1，2]，都存在x₀∈[-1，2]，使得g（x₁）=f（x₀），可得g（x）=ax+2在x₁∈[-1，2]的值域为f（x）=x²-2x在x₀∈[-1，2]的值域的子集，构造关于a的不等式组，可得结论．

解答：解：当x₀∈[-1，2]时，由f（x）=x²-2x得，
f（x₀）=[-1，3]，
又∵任意的x₁∈[-1，2]，都存在x₀∈[-1，2]，使得g（x₁）=f（x₀），
∴当x₁∈[-1，2]时，g（x₁）⊆[-1，3]
当a＜0时，

-a+2≤3 2a+2≥-1

，解得a≥-1；
当a=0时，g（x₁）=2恒成立，满足要求；
当a＞0时，

-a+2≥-1 2a+2≤3

，解得a≤

1

2

综上所述实数a的取值范围是[-1，

1

2

]
故答案为：[-1，

1

2

]

点评：本题考查的知识点是二次函数在闭区间上的最值，其中根据已知分析出“g（x）=ax+2在x₁∈[-1，2]的值域为f（x）=x²-2x在x₀∈[-1，2]的值域的子集”是解答的关键．