Question

过抛物线顶点任做互相垂直的两弦，交此抛物线于两点，求证此两点联线的中点的轨迹仍为一抛物线．

Answer 1

分析：设OA的斜率为k，则直线OB的斜率为-

1

k

，写出OA、OB的直线方程，与抛物线方程联立，求出A和B点的坐标，由中点坐标公式表示出中点的坐标，消去k即可得到中点的轨迹方程，从而可得轨迹．

解答：证明：设抛物线方程为y²=2px①
过抛物线顶点O任作互相垂直的二弦OA和OB，
设OA的斜率为k，则直线OB的斜率为-

1

k

，
于是直线OA的方程为：y=kx②
直线OB的方程为：y=-

1

k

x③
设点A（x₁，y₁），点B（x₂，y₂）
由①，②可得：x₁=

2p

k2

，y1=

2p

k

．
由①，③可得：x₂=2pk²，y₂=-2pk
设P（x，y）为AB的中点，由上可得：
x=

x1+x2

2

=

p

k2

+pk2④
y=

y1+y2

2

=

p

k

-pk⑤
由⑤可得：y²=

p2

k2

-2p2+p2k2⑥
由④可知：px=

p2

k2

+p2k2，代入⑥
y2=(

p2

k2

+p2k2)-2p2=px-2p2
即y²=px-2p²，
所以点P的轨迹为一抛物线．

点评：本题考查与中点有关的轨迹方程的求解，考查运算能力．