Question

过抛物线顶点任做互相垂直的两弦，交此抛物线于两点，求证此两点联线的中点的轨迹仍为一抛物线．

Answer 1

【答案】分析：设OA的斜率为k，则直线OB的斜率为-，写出OA、OB的直线方程，与抛物线方程联立，求出A和B点的坐标，由中点坐标公式表示出中点的坐标，消去k即可得到中点的轨迹方程，从而可得轨迹．
解答：证明：设抛物线方程为y²=2px①
过抛物线顶点O任作互相垂直的二弦OA和OB，
设OA的斜率为k，则直线OB的斜率为-，
于是直线OA的方程为：y=kx②
直线OB的方程为：y=-x③
设点A（x₁，y₁），点B（x₂，y₂）
由①，②可得：x₁=．
由①，③可得：x₂=2pk²，y₂=-2pk
设P（x，y）为AB的中点，由上可得：
④
⑤
由⑤可得：y²=⑥
由④可知：px=，代入⑥

即y²=px-2p²，
所以点P的轨迹为一抛物线．
点评：本题考查与中点有关的轨迹方程的求解，考查运算能力．