题目内容

已知椭圆 $数学公式$ 中心为O，右顶点为M，过定点D（t，0）（t≠±2）作直线l交椭圆于A、B两点．
（1）若直线l与x轴垂直，求三角形OAB面积的最大值；
（2）若 $数学公式$ ，直线l的斜率为1，求证：∠AMB=90°；
（3）直线AM和BM的斜率的乘积是否为非零常数？请说明理由．

解：设直线l与椭圆的交点坐标为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
（1）把x=t代入 $\text{[math]}$ 可得： $\text{[math]}$ ，（2分）
则 $\text{[math]}$ ，当且仅当 $\text{[math]}$ 时取等号（4分）
（2）由 $\text{[math]}$ 得125x²-240x+44=0， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （6分）
所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ∠AMB=90°（9分）
（3）直线AM和BM的斜率的乘积是一个非零常数．（11分）
当直线l与x轴不垂直时，可设直线方程为：y=k（x-t），
由 $\text{[math]}$ 消去y整理得（4k²+1）x²-8k²tx+4k²t²-4=0
则 $\text{[math]}$ ①又 $\text{[math]}$ ②（13分）
所以 $\text{[math]}$ （15分）
当直线l与x轴垂直时，由 $\text{[math]}$ 得两交点 $\text{[math]}$ ，
显然 $\text{[math]}$ ．
所以直线AM和BM的斜率的乘积是一个非零常数．（16分）
分析：（1）先把x=t代入 $\text{[math]}$ 可得： $\text{[math]}$ 从而得出面积的函数表达式，最后利用基本不等式求其最大值即可；
（2）联立 $\text{[math]}$ 得125x²-240x+44=0，然后利用根与系数的关系结合题设条件进行求解．
（3）先分类讨论：①当直线l与x轴不垂直时，可设直线方程为：y=k（x-t），由 $\text{[math]}$ 消去y整理得（4k²+1）x²-8k²tx+4k²t²-4=0，然后利用根与系数的关系结合题设条件进行求解．
②当直线l与x轴垂直时，利用同样的方法求解即可．
点评：本题考查圆锥曲线和直线的位置关系和综合应用，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用．