Question

已知定点A（0，p）（p＞0）和长度为2p的线段MN，当线段MN在x轴上滑动时，
（1）求△MAN的外接圆圆心C的轨迹方程．
（2）当p=2时，过点A的直线l与C的轨迹相交于D、E两点，DE的中垂线交x轴于点H，求△HDE面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）设出C点坐标，由题意设出M，N的坐标，然后利用线段长度相等列式化简；
（2）由题意可得直线l的斜率存在，当斜率为0时，求出两交点坐标，面积可求，当斜率不为0时，设出两交点坐标，联立直线方程和抛物线方程后利用弦长公式求弦长，用点到直线距离公式求三角形的高，代入面积公式后化为关于k的表达式，则面积范围可求，最后可得面积的最小值．

解答：解：（1）设C点的坐标为（x，y），不妨设M（x-p，0），N（x+p，0）．
则∵|AC|=|MC|，∴

x2+(y-p)2

=

p2+y2

化简得：x²=2py；
（2）设过点A的直线方程为y=kx+2，D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）
当k=0时，易得H（0，0），D(2

2

，2)，E(-2

2

，2)，S△HDE=4

2

当k≠0时，联立

y=kx+2 x2=4y

，得x²-4kx-8=0，∴

x1+x2=4k x1x2=-8

，
即DE中点为（2k，2k²+2），DE中垂线方程为y=-

1

k

(x-2k)+2k2+2，
取y=0，得H（2k³+4k，0）．
H到直线kx-y+2=0的距离为

|2k4+4k2+2|

1+k2

．
所以S△HDE=

1

2

•

|2k4+4k2+2|

1+k2

•

1+k2

|x1-x2|=(k2+1)2

16k2+32

＞4

2

故当k=0时，△HDE的面积有最小值，最小值为4

2

．

点评：本题考查了圆锥曲线的轨迹问题，考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了弦长公式的引应用，考查了学生的计算能力，属难题．