Question

设函数f(x)＝x｜x－a｜－2．

   （1）若a＝－2，写出函数f(x)的单调区间；

   （2）若a＞0，写出函数f(x)的单调区间；

   （3）若a＜1，且当x∈[0，1]时，恒有f(x)＜0，求a的取值范围．

Answer 1

解  (1) f(x)＝x｜x＋2｜－2＝

＝

结合函数图象，单调增区间为(－∞，－2]和[－1，＋∞)，减区间为[－2，－1]．

(2) f(x)＝x｜x－a｜－2＝

＝

结合函数图象，单调增区间为(－∞，]和[a，＋∞)，减区间为[，a]．

(3)当x＝0，f(0)＝－2＜0恒成立，a∈R，

当0＜x≤1时，f(x)＜0恒成立，故｜x－a｜＜恒成立，

即x－＜a＜x＋恒成立．

令y₁＝x＋，y₁’＝1－，

当0＜x≤1时，y’＜0，故y₁是(0，1]上的单调减函数，

所以y₁≤1＋2＝3，故a＜3；

令y₂＝x－，y₂’＝1＋＞0，

故y₂是(0，1]上的单调增函数，

所以y₂≤1－2＝－1，故a＞－1．

又a＜1，综上所述，a的取值范围为(－1，1)．