题目内容
11．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为2，直线l：y=kx+m（m≠0）与椭圆交与不同的两点A，B（1）求椭圆C的方程
（2）若线段AB中点的横坐标为$\frac{m}{2}$，求k的值
（3）若以弦AB为直径的圆经过椭圆的右顶点M，则直线l是否经过定点（除右顶点外）？若经过，求出定点坐标，否则，请说明理由．
分析 （1）由椭圆的离心率公式和三角形的面积公式及a，b，c的关系，计算即可得到a，b，进而得到椭圆方程；
（2）联立直线方程和椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，计算即可得到k；
（3）联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和圆的性质，以及垂直的条件，化简整理，结合直线恒过定点的求法，即可得到定点．
解答 解：（1）由题意可得，e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，又bc=2，
a2-b2=c2，
解得a=2，b=$\sqrt{2}$，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）将y=kx+m代入椭圆方程可得，（1+2k2）x2+4kmx+2m2-4=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则有x1+x2=$\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$，
由中点坐标公式可得$\frac{-2km}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{m}{2}$，
解得k=-1±$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（3）由（2）可得△=（4km）2-4（1+2k2）（2m2-4）＞0
整理得：4k2-m2+2＞0 ①
x1+x2=$\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$，x1x2=$\frac{2{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，
由已知，AM⊥MB，且椭圆的右顶点为M（2，0）
∴（x1-2）（x2-2）+y1y2=0
即（1+k2）x1x2+（km-2）（x1+x2）+m2+4=0
也即（1+k2）•$\frac{2{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$+（km-2）•$\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$+m2+4=0，
整理得：3m2+8mk+4k2=0，
解得：m=-2k或m=-$\frac{2}{3}$k，均满足①
当m=-2k时，直线l的方程为y=kx-2k，过定点（2，0），舍去．
当m=-$\frac{2}{3}$k时，直线l的方程为y=k（x-$\frac{2}{3}$），过定点（$\frac{2}{3}$，0），
故直线l过定点，且定点的坐标为（$\frac{2}{3}$，0）．
点评 本题综合考查椭圆的性质及应用和直线与椭圆的位置关系，具有较大的运算量，解题时要注意韦达定理的灵活运用．
已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且C上任意一点到两个焦点的距离之和都为4．| A． | 3 | B． | 5 | C． | 7 | D． | 9 |
| 日期 | 3月1日 | 3月2日 | 3月3日 | 3月4日 | 3月5日 |
| 温差x （度） | 10 | 11 | 13 | 12 | 9 |
| 发芽数y（颗） | 15 | 16 | 17 | 14 | 13 |
（1）请根据3月1日至3月5日的数据，求出y关于x的线性回归方程．据气象预报3月6日的昼夜温差为11℃，请预测3月6日浸泡的30颗种子的发芽数．（结果保留整数）
（2）从3月1日至3月5日中任选两天，记种子发芽数超过15颗的天数为X，求X的概率分布列，并求其数学期望和方差．
如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=1，现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点．| 优秀 | 良好 | 合格 | |
| 男 | 180 | 70 | 20 |
| 女 | 120 | a | 30 |
（1）求a的值；
（2）若用分层抽样的方法，在合格的同学中按男女抽取一个容量为5的样本，从中任选2人，记X为抽取女生的人数，求X的分布列及数学期望．