题目内容

求证:+…+(n∈N,且n≥2).

证明：∵,

∴.

分别令k=2,3,4,…,n,得-＜＜1,?-＜＜-,…,

,将这些不等式相加,得,

∴＜1+++…+＜2-.

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已知数列{a_n}中，a₁=2，a₂=3，其前n项和S_n满足S_n+1+S_n-1=2S_n+1（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}为等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=2n•an，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）设cn=4n+(-1)n-1λ•2an（λ为非零整数，n∈N^*），试确定λ的值，使得对任意n∈N^*，有c_n+1＞c_n恒成立．

设数列{b_n}的前n项和为S_n，对任意的n∈N^*，都有b_n＞0，且S_n²=b₁³+b₂³+…b_n³；数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=（1+cos2

，n∈N^*．
（Ⅰ）求b₁，b₂的值及数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：

对一切n∈N⁺成立．

（2013•闸北区一模）若数列{b_n}满足：对于n∈N^*，都有b_n+2-b_n=d（常数），则称数列{b_n}是公差为d的准等差数列．如：若cn=

4n-1，当n为奇数时

4n+9，当n为偶数时.

则{c_n}是公差为8的准等差数列．
（1）求上述准等差数列{c_n}的第8项c₈、第9项c₉以及前9项的和T₉；
（2）设数列{a_n}满足：a₁=a，对于n∈N^*，都有a_n+a_n+1=2n．求证：{a_n}为准等差数列，并求其通项公式；
（3）设（2）中的数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₆₃＞2012，求a的取值范围．

设函数f（x）的定义域、值域均为R，f（x）的反函数为f^-1（x），且对于任意的x∈R，均有 $数学公式$ ，定义数列{a_n}，a₀=8，a₁=10，a_n=f（a_n-1）（n∈N^）．
（Ⅰ）求证： $数学公式$ （n∈N^）．
（Ⅱ）设b_n=a_n+1-2a_n（n∈N^），求证：b_n＜（-6）•2^-n（n∈N^）；
（Ⅲ）是否存在常数A，B同时满足条件：
①当n=0，1时， $数学公式$ ；
②当n≥2时（n∈N^*，） $数学公式$ ．如果存在，求出A，B的值，如果不存在，说明理由．

设函数f（x）的定义域、值域均为R，f（x）的反函数为f^-1（x），且对于任意的x∈R，均有

，定义数列{a_n}，a=8，a₁=10，a_n=f（a_n-1）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：

（n∈N^*）．
（Ⅱ）设b_n=a_n+1-2a_n（n∈N^*），求证：b_n＜（-6）•2^-n（n∈N^*）；
（Ⅲ）是否存在常数A，B同时满足条件：
①当n=0，1时，

；
②当n≥2时（n∈N^*，）

．如果存在，求出A，B的值，如果不存在，说明理由．