Question

（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲
如图，已知与圆相切于点，经过点的割线交圆于点，的平分线分别交于点．

（1）证明：；
（2）若,求的值．

Answer 1

(1)见解析；(2) =．

本试题主要是考查了三角形的相似和圆内的性质的综合运用。
（1）因为结合切割线定理和弦切角定理可知角的相等，进而得到结论。
（2）由(1)知∠BAP=∠C, 又 ∵∠APC=∠BPA,
∴△APC∽△BPA并结合由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°可知在Rt△ABC中，=,得到求解。
解：(1)∵ PA是切线，AB是弦，
∴∠BAP=∠C，
又 ∵∠APD=∠CPE, ∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE,
∵∠ADE=∠BAP+∠APD,
∠AED=∠C+∠CPE,             
∴∠ADE=∠AED．               
(2)由(1)知∠BAP=∠C, 又 ∵∠APC=∠BPA,
∴△APC∽△BPA, ∴,          
∵ AC="AP," ∴∠APC=∠C=∠BAP,
由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°,
∵ BC是圆O的直径，∴∠BAC="90°," ∴∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°,
∴∠C=∠APC=∠BAP=×90°=30°．               
在Rt△ABC中，=, ∴=．