Question

已知⊙O：x²+y²=1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足PQ=PA．
（1）证明：P（a，b）在一条定直线上，并求出直线方程；
（2）求线段PQ长的最小值；
（3）若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径取最小值时的⊙P方程．

Answer 1

分析：（1）连接OP，OQ，由PQ为圆O的切线，利用切线性质得到PQ垂直于OQ，利用勾股定理得到|PQ|²=|OP|²-|OQ|²，而|PQ|=|PA|，得到平方相等，利用两点间的距离公式列出关系式，化简即可得到所求的直线方程；
（2）利用两点间的距离公式表示出|PQ|，将b=-2a+3代入，被开方数为关于a的二次函数，配方求出|PQ|的最小值，以及此时a的值，即为线段PQ的最小值；
（3）设圆P的半径为R，Q为圆P与圆O有公共点，圆O的半径为1，根据两圆有公共点列出关系式，再由两点间的距离公式表示出|OP|，将b=-2a+3代入得到被开方数为关于a的二次函数，配方求出二次函数的最小值以及此时a的值，求出此时b的值，确定出P坐标，即为所求圆的圆心坐标，求出|OP|的最小值，得出R的最小值，即为所求圆的半径，写出圆P的标准方程即可．

解答：解：（1）由点Q为切点，可得PQ⊥OQ，
由勾股定理得：|PQ|²=|OP|²-|OQ|²，
又|PQ|=|PA|，
∴|PQ|²=|PA|²，即（a²+b²）-1²=（a-2）²+（b-1）²，
化简得：2a+b-3=0，
则所求直线方程为2a+b-3=0；
（2）由2a+b-3=0，得b=-2a+3，
|PQ|=

a2+b2-1

=

a2+(-2a+3)2-1

=

5a2-12a+8

=

5(a- 6 5 )2+ 4 5

，
故当a=

6

5

时，|PQ|_min=

2 5

5

，即线段PQ长的最小值为

2 5

5

；
（3）设圆P的半径为R，Q为圆P与圆O有公共点，圆O的半径为1，
∴|R-1|≤|OP|≤R+1，即R≥||OP|-1|且R≤|OP|+1，
而|OP|=

a2+b2

=

a2+(-2a+3)2

=

5(a- 6 5 )2+ 9 5

，
故当a=

6

5

时，|OP|_min=

3 5

5

，此时b=-2a+3=

3

5

，R_min=

3 5

5

-1，
则半径取最小值时圆P的方程为（x-

6

5

）²+（y-

3

5

）²=（

3 5

5

-1）²．

点评：此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：圆的切线方程，两点间的距离公式，以及二次函数的性质，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．