Question

如图，已知点A（-2，0），点P是⊙B：（x-2）²+y²=36上任意一点，线段AP的垂直平分线交BP于点Q，点Q的轨迹记为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）已知⊙O：x²+y²=r²（r＞0）的切线l总与曲线C有两个交点M、N，并且其中一条切线满足∠MON＞90°，求证：对于任意一条切线l总有∠MON＞90°．

Answer 1

分析：（ I）由题意，|QA|+|QB|=|QP|+|QB|=6，所以Q点轨迹是以A、B为焦点的椭圆，故可求曲线C的轨迹方程；
（ II）先考虑切线的斜率存在的情形．设切线l：y=kx+m，利用l与⊙O相切，建立方程，再由

y=kx+m x2 9 + y2 5 =1

，消去y，借助于韦达定理，证明

OM

•

ON

=

14m2-45(1+k2)

5+9k2

＜0即可，再考虑两种特殊情况：（1）当满足∠MON＞90°的那条切线斜率不存在时，切线方程为x=±r，（2）当满足∠MON＞90°的那条切线斜率存在时，故结论可证．

解答：（ I）解：由题意，|QA|+|QB|=|QP|+|QB|=6，
∴Q点轨迹是以A、B为焦点的椭圆，且a=3，c=2，
∴曲线C的轨迹方程是

x2

9

+

y2

5

=1．（5分）
（ II）证明：先考虑切线的斜率存在的情形．设切线l：y=kx+m，则     
由l与⊙O相切得

|m|

1+k2

=r即m²=r²（1+k²）①（7分）
由

y=kx+m x2 9 + y2 5 =1

，消去y得，（5+9k²）x²+18kmx+9（m²-5）=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则由韦达定理得x1+x2=-

18km

5+9k2

，x1x2=

9(m2-5)

5+9k2

（9分）

OM

•

ON

=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2
=

9(1+k2)(m2-5)

5+9k2

-

18k2m2

5+9k2

+m2=

14m2-45(1+k2)

5+9k2

②（10分）
由于其中一条切线满足∠MON＞90°，对此

OM

•

ON

=

14m2-45(1+k2)

5+9k2

＜0
结合①式m²=r²（1+k²）可得r2＞

45

14

（12分）
于是，对于任意一条切线l，总有m2＞

45

14

(1+k2)，进而

OM

•

ON

=

14m2-45(1+k2)

5+9k2

＜0
故总有∠MON＞90°．（14分）
最后考虑两种特殊情况：
（1）当满足∠MON＞90°的那条切线斜率不存在时，切线方程为x=±r．代入椭圆方程可得交点的纵坐标y=±

5- 5r2 9

，
因∠MON＞90°，故r＜

5- 5r2 9

，得到r2＞

45

14

，同上可得：任意一条切线l均满足∠MON＞90°；
（2）当满足∠MON＞90°的那条切线斜率存在时，r2＞

45

14

，r＜

5- 5r2 9

，对于斜率不存在的切线x=±r也有∠MON＞90°．
综上所述，命题成立．（15分）

点评：本题考查曲线轨迹的求解，考查椭圆的标准方程，考查直线与圆、椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，需要一定的基本功．