Question

（本小题满分14分）
设函数（）．
（1）当时，求的最小值；
（2）若，将的最小值记为，求的表达式；
（3）当时，关于的方程有且仅有一个实根，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）由已知有：

，……………………………2分
∵
∴
∴当时，………………………………………………4分
（2）由于，∴ ，
∴ 当 时，则时，；
当 时，则时，；
当 时，则当时，；
综上， .                ……………………………8分
（3）当 时，，
方程 即，
即方程在区间有且仅有一个实根，……………………………9分
令 ，则有：
解法一、①若
 
∴ ………………………………………………………………10分
②   或  
综上所述，当时，方程在区间有且仅有一个实根．……14分
解法二、由零点存在定理得
①， ，
∴； …………………………………………………………………10分
②当时，
，此时，符合题意；
③当时， ，此时，符合题意；
综上，当时，方程在区间有且仅有一个实根．……14分

略