Question

已知四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，BC⊥AB，侧面SAB为正三角形，AB=BC=4，CD=SD=2．如图所示．

（1）证明：SD⊥平面SAB；

（2）求四棱锥S﹣ABCD的体积V_S﹣ABCD．

Answer 1

考点：

直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．

专题：

综合题．

分析：

（1）证明线面垂直，利用线面垂直的判定定理，证明SD⊥SA，SD⊥SB即可；

（2）利用等体积，计算顶点S到底面ABCD的距离，再计算四棱锥S﹣ABCD的体积．

解答：

（1）证明：∵直角梯形ABCD，AB∥CD，BC⊥AB，侧面SAB为正三角形，AB=BC=4，CD=SD=2，

∴BD=2，AD=2．

∴在△DSA和△DSB中，有SA²+SD²=4²+2²=AD²，SB²+SD²=4²+2²=BD²．

∴SD⊥SA，SD⊥SB

∵SA∩SB=S．

∴SD⊥平面SAB；

（2）解：设顶点S到底面ABCD的距离为h．结合几何体，可知V_D﹣SAB=V_S﹣ABD．

又=4，，

于是，，解得h=．

所以四棱锥S﹣ABCD的体积V_S﹣ABCD=×=4．

点评：

本题考查线面垂直，考查体积的计算，解题的关键是利用线面垂直的判定定理，正确运用体积公式．