Question

已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，点E是SC上任意一点．
（Ⅰ）求证：平面EBD⊥平面SAC；
（Ⅱ）设SA=4，AB=2，求点A到平面SBD的距离；
（Ⅲ）当

SA

AB

的值为多少时，二面角B-SC-D的大小为120°．

Answer 1

分析：（1）欲证平面EBD⊥平面SAC，只需证BD⊥面SAC，利用线面垂直的判定定理可证得；
（2）过A作AF⊥SO交SO于点F，则AF⊥面SBD，所以线段AF的长就是点A到平面SBD的距离，利用等面积法求出线段AF的长即可；
（3）作BM⊥SC于M，连接DM，可证得∠BMD是二面角B-SC-D的平面角，利用余弦定理建立等量关系求解即可．

解答：解：证明（Ⅰ）∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
∵SA⊥底面ABCD，BD?面ABCD，∴SA⊥BD，
∵SA∩AC=A，∴BD⊥面SAC，
又∵BD?面EBD，∴平面EBD⊥平面SAC；（4分）
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BD⊥面SAC，又∵BD?面SBD，
∴平面SBD⊥平面SAC，设AC∩BD=O，
则平面SBD∩平面SAC=SO，过A作AF⊥SO交SO于点F，
则AF⊥面SBD，所以线段AF的长就是点A到平面SBD的距离．
∵ABCD是正方形，AB=2，∴AO=

2

，
又∵SA=4，△SAO是Rt△，∴SO=3

2

，
∵SO×AF=SA×AO，∴AF=

4

3

，∴点A到平面SBD的距离为

4

3

；（9分）
解：（Ⅲ）作BM⊥SC于M，连接DM，
∵SA⊥底面ABCD，AB=AD，∴SB=SD，
又∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴CB⊥SB，CD⊥SD，
∴△SBC≌△SDC，∴DM⊥SC，
∴∠BMD是二面角B-SC-D的平面角，BM=DM．（11分）
要使∠BMD=120°，只须

BM2+DM2-BD2

2BM•DM

=cos120°，
即BM²=

1

3

BD2，而BD²=2AB²，∴BM²=

2

3

AB²，
∵BM×SC=SB×BC，SC²=SB²+BC²，∴BM²×SC²=SB²×BC²，
∴

2

3

AB²（SB²+BC²）=SB²×BC²，
∵AB=BC，∴2SB²+2AB²=3SB²，∴SB²=2AB²，
又∵AB²=SB²-SA²，∴AB²=SA²，∴

SA

AB

=1，
故当

SA

AB

=1时，二面角B-SC-D的大小为120°．（14分）

点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．