Question

函数f（x）的定义域为A，若x₁，x₂∈A且f（x₁）=f（x₂）时总有x₁=x₂，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单函数，下列四个结论：
①函数f（x）=tanx（x≠kπ+

π

2

，k∈Z）是单函数；
②指数函数f（x）=2^x（x∈R）是单函数；
③若f（x）为单函数，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，则f（x₁）≠f（x₂）；
④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．
上述四个结论中正确的有______．（写出所有正确结论的序号）

Answer 1

①函数f（x）=tanx（x≠kπ+

π

2

，k∈Z）不是单函数，例如f（

π

6

）=f（

7π

6

），显然不会有

π

6

和

7π

6

相等，故为假命题；
②指数函数f（x）=2^x（x∈R）是单函数，因为指数函数f（x）=2^x（x∈R）是实数上的单调函数，也是一一映射函数，故为真命题；
③若f（x）为单函数，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，则f（x₁）≠f（x₂）为真，
可用反证法证明：假设f（x₁）=f（x₂），则按定义应有x₁=x₂，与已知中的x₁≠x₂矛盾；
④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数为真，因为单函数的实质是一对一的映射，而单调的函数也是，故为真．
故答案为：②③④．