Question

（2012•天津）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）内是增函数的为（　　）

• A．y=cos2x，x∈R
• B．y=log₂|x|，x∈R且x≠0
• C．y=

  ex-e-x

  2

  ，x∈R
• D．y=x³+1，x∈R

Answer 1

分析：利用函数奇偶性的定义可排除C，D，再由在区间（1，2）内有增区间，有减区间，可排除A，从而可得答案．

解答：解：对于A，令y=f（x）=cos2x，则f（-x）=cos（-2x）=cos2x=f（x），为偶函数，
而f（x）=cos2x在[0，

π

2

]上单调递减，在[

π

2

，π]上单调递增，
故f（x）=cos2x在（1，

π

2

]上单调递减，在[

π

2

，2）上单调递增，故排除A；
对于B，令y=f（x）=log₂|x|，x∈R且x≠0，同理可证f（x）为偶函数，当x∈（1，2）时，y=f（x）=log₂|x|=log₂x，为增函数，故B满足题意；
对于C，令y=f（x）=

ex-e-x

2

，x∈R，f（-x）=-f（x），为奇函数，故可排除C；
而D，为非奇非偶函数，可排除D；
故选B．

点评：本题考查函数奇偶性的判断与单调性的判断，着重考查函数奇偶性与单调性的定义，考查“排除法”在解题中的作用，属于基础题．