题目内容

已知椭圆 $数学公式$ 的左、右焦点分别为F₁、F₂，左顶点为A，O为坐标原点．
若 $数学公式$ ．
（I）求椭圆C的方程；
（II）设过点F₁的直线l交椭圆C于M、N两点，求 $数学公式$ 的取值范围．

解：（I）由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，∴c=1，∴b=1
∴椭圆C的方程为 $\text{[math]}$ ；
（II）由（I）知F₁（-1，0），F₂（1，0），则斜率不存在时，
$\text{[math]}$ ，于是 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
斜率存在时，设直线MN的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程 $\text{[math]}$ ，消去y得
（1+2k²）x²+4k²x+2（k²-1）=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∵1+2k²≥1，∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
综上知， $\text{[math]}$
分析：（I）由 $\text{[math]}$ ，根据椭圆的定义可得 $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ ，根据离心率的定义得 $\text{[math]}$ ，所以c=1，所以b=1，从而可求椭圆C的方程；
（II）由（I）知F₁（-1，0），F₂（1，0），则斜率不存在时，用坐标分别表示出 $\text{[math]}$ ，从而利用数量积公式可求 $\text{[math]}$
斜率存在时，设直线MN的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程 $\text{[math]}$ ，消去y得
（1+2k²）x²+4k²x+2（k²-1）=0设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 用坐标分别表示出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 从而利用数量积公式可求 $\text{[math]}$ 的范围．
点评：本题以向量为载体，考查椭圆的标准方程，考查向量的数量积，解题时应注意分类讨论，同时正确用坐标表示向量．