Question

斜三棱柱ABC─A＇B＇C＇的底面是边长为a的正三角形, 侧棱A＇A长为a, 且与AB、AC都夹60°的角, 则这个斜三棱柱的侧面积是(________+)a2.

Answer 1

答案：1
解析：

解法一：作A＇O⊥平面ABC于O, OM⊥AB于M, ON⊥AC于N, 连结A＇M、A＇N, 由三垂定理,AB⊥A＇M, AC⊥A＇N 又∠A＇AB＝∠A＇AC＝60°, 故 A＇M＝A＇N＝A＇A＝a SABB'A'＝SACC'A'＝a2 ∵△A'OM≌△A'ON, ∴OM＝ON, AD平分∠BAC, AD⊥BC. 又A'O⊥平面ABC, 得A'O⊥BC, ∴BC⊥平面A'AO, 得BC⊥A'A ∵A'A∥B'B, A'A＝B'B, ∴BC⊥B'B, SBCC'B'＝BC·B'B＝a2 ∴S侧＝SABB'A'+SBCC'B'+SCAA'C'      ＝(1+)a2 解法二：作A'P⊥B'B于P, A'Q⊥C'C于Q, 由A'ABB'是有一个内角为60°且 边长为a的菱形, 得A'P＝a,B'P＝a, 同理, A'Q＝a, C'Q＝a 又B'B∥C'C,故PQC'B'是平行四边形,PQ＝B'C'＝a △A'PQ的周长是A'P+A'Q+PQ＝(+1)a ∴B'B∥C'C, A'Q⊥C'C, ∴B'B⊥A'Q 又B'B⊥A'P, 故B'B⊥平面A'PQ. A'PQ是三棱柱的直截面, 侧面积是直 截面周长与侧棱长之积 S侧＝(+1)a·a＝(+1)a2