Question

已知M、N、P分别是正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱CC₁、BC、CD的中点.求证:A₁P⊥平面DMN.

Answer 1

证明:建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则D(0,0,0)、A₁(2,0,2)、P(0,1,0)、M(0,2,1)、N(1,2,0).

∴向量=(0,1,0)-(2,0,2)=(-2,1,-2),

?=(1,2,0),=(0,2,1).

∴·=(-2,1,-2)·(0,2,1)

=(-2)×0+1×2+(-2)×1=0,?

·?=(-2,1,-2)·(1,2,0)

=(-2)×1+1×2+(-2)×0=0.

∴⊥,⊥.

∴A₁P⊥,A₁P⊥.

又∵DM∩DN=D,

∴A₁P⊥平面DMN.