Question

已知M、N、P分别是正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱CC₁、BC、CD的中点.求证:A₁P⊥平面DMN.

Answer 1

证明:建立如图所示的空间直角坐标系, 设正方体的棱长为2, 则D(0, 0, 0)、A₁(2, 0, 2)、P(0, 1, 0)、M(0, 2, 1)、N(1, 2, 0).

∴向量=(0, 1, 0)-(2, 0, 2)=(-2, 1, -2),

=(1, 2, 0),

=(0, 2, 1).

∴=(-2, 1, -2)·(0, 2, 1)=(-2)×0+1×2+(-2)×1=0,

=(-2, 1, -2)·(1, 2, 0)=(-2)×1+1×2+(-2)×0=0.

∴,.

∴A₁P⊥DM, A₁P⊥DN.

又∵DM∩DN=D,

∴A₁P⊥平面DMN.