题目内容

已知函数f（x）=2x+1．
（I）解不等式 $数学公式$ ；
（II）若x≠0，求证： $数学公式$ ．

解：（I）原不等式可化为|2x+1|+|x-2|＞4
当x≤- $\text{[math]}$ 时，不等式化为-2x-1+2-x＞4，
∴x＜-1，此时x＜-1；
当- $\text{[math]}$ ＜x＜2时，不等式化为2x+1+2-x＞4，
∴x＞1，此时1＜x＜2；
当x≥2时，不等式化为2x+1+x-2＞4，
∴x＞ $\text{[math]}$ ，此时x≥2．
综上可得：原不等式的解集为（-∞，-1）∪（1，+∞）．
（II） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ •||x|-|y||=|1+ $\text{[math]}$ ||x|-|y||，
∵|1+ $\text{[math]}$ |≥1，当y=0时取等号，
∴|1+ $\text{[math]}$ ||x|-|y||≥||x|-|y||≥|x|-|y|
因此 $\text{[math]}$ ≥|x|-|y|．
分析：（I）把函数f（x）=2x+1代入不等式 $\text{[math]}$ ，根据绝对值不等式的代数意义去绝对值符号，转化为解一元一次不等式；把求得的结果求并集；（II）把函数f（x）=2x+1代入 $\text{[math]}$ ，根据绝对值的运算性质放缩不等式，即可证得结论．
点评：考查绝对值的代数意义，去绝对值的过程体现了分类讨论的思想方法，应用绝对值运算性质放缩不等式，防守方的应用，属中档题．