Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB，E是PD中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）求二面角E-AC-D的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲证PB∥平面AEC，关键是在平面AEC内找一直线与PB平行，连接BD交AC于点O，连接EO，利用中位线平行即可证得；
（2）取AD中点L，过L作LK⊥AC于K，连接EK、EL，易证∠EKL为二面角E-AC-D的平面角，利用△AKL∽△ADC求出KL，然后在Rt△ELK中求出∠EKL．
解答：解：（Ⅰ）证明：连接BD交AC于点O，连接EO．
∵O为BD中点，E为PD中点，
∴EO∥PB．（3分）
∵EO?平面AEC，PB?平面AEC，
∴PB∥平面AEC．（6分）
（Ⅱ）取AD中点L，过L作LK⊥AC于K，连接EK、EL，
∵L为AD中点，
∴EL∥PA，
∴EL⊥平面ABCD，
∴LK为EK在平面ABCD内的射影．
又LK⊥AC，
∴EK⊥AC，
∴∠EKL为二面角E-AC-D的平面角．（10分）
在Rt△ADC中，LK⊥AC，
∴△AKL∽△ADC．
∴，设正方形边长为2，，
∴．（12分）
在Rt△ELK中，，
∴二面角E-AC-D的大小为．（14分）
点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．